<template>
    <div>
        123456
        <!-- <div class="markdown-body" v-html="html"></div> -->
        <vue-markdown :source="md2" :emoji="true" :breaks="true" />
    </div>
</template>
<script>
import MarkdownIt from 'markdown-it'
import hljs from 'highlight.js'
import 'github-markdown-css/github-markdown-light.css'
import 'highlight.js/styles/github.css'


const md = new MarkdownIt({
    html: true,
    linkify: true,
    typographer: true,
    highlight(str, lang) {
        if (lang && hljs.getLanguage(lang)) {
        return hljs.highlight(str, { language: lang }).value
        }
        return ''
    }
})

export default {
    data() {
        return {
            source: '```js\\nconst a = 1\\n```',
            source2: `泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。\n\n### 带佩亚诺型余项的泰勒公式\n设函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)=o((x - x_0)^n)$，表示当$x\\to x_0$时，$R_n(x)$是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小。\n\n当$x_0 = 0$时，上述公式也称为麦克劳林公式，即$f(x)=f(0)+f'(0)x+\\frac{f''(0)}{2!}x^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$，$R_n(x)=o(x^n)$。\n\n### 带拉格朗日型余项的泰勒公式\n设函数$f(x)$在包含$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有直到$n + 1$阶的导数，则对任意$x\\in(a,b)$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)=\\frac{f^{(n + 1)}(\\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，这里$\\xi$介于$x$与$x_0$之间。\n\n### 常见函数的麦克劳林公式\n - **指数函数**：$e^x = 1+x+\\frac{x^2}{2!}+\\cdots+\\frac{x^n}{n!}+R_n(x)$，$R_n(x)=\\frac{e^{\\xi}}{(n + 1)!}x^{n+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间。\n - **正弦函数**：$\\sin x=x-\\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}-\\cdots+(-1)^{m - 1}\\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x)$，$R_{2m}(x)=\\frac{\\sin(\\xi+(m + \\frac{1}{2})\\pi)}{(2m+1)!}x^{2m+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间。\n - **余弦函数**：$\\cos x = 1-\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^4}{4!}-\\cdots+(-1)^{m}\\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x)$，$R_{2m+1}(x)=\\frac{\\cos(\\xi+(m + 1)\\pi)}{(2m + 2)!}x^{2m+2}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间。\n - **对数函数**：$\\ln(1 + x)=x-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}-\\cdots+(-1)^{n - 1}\\frac{x^n}{n}+R_n(x)$，$R_n(x)=\\frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\\xi)^{n+1}}x^{n+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间，$x\\in(-1,1]$。\n - **幂函数**：$(1 + x)^{\\alpha}=1+\\alpha x+\\frac{\\alpha(\\alpha - 1)}{2!}x^2+\\cdots+\\frac{\\alpha(\\alpha - 1)\\cdots(\\alpha - n+1)}{n!}x^n+R_n(x)$，$R_n(x)=\\frac{\\alpha(\\alpha - 1)\\cdots(\\alpha - n)}{(n+1)!}(1+\\xi)^{\\alpha - n - 1}x^{n+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间，$\\alpha\\in R$，$x\\in(-1,1)$。\n\n泰勒公式在数学分析、数值计算、物理学等领域都有广泛的应用，例如可以用于近似计算函数值、求极限、分析函数的性质等。`,
            // md2: '```js\\nconst a = 1\\n```',
            // md2: '# Hello \\n|a|b|\\n|-|-|\\n|1|2|',
            // md2: "以下是使用 JavaScript 编写的打印九九乘法表的代码：\n\n```javascript\nfor (let i = 1; i <= 9; i++) {\n let row = '';\n for (let j = 1; j <= i; j++) {\n row += `${j} × ${i} = ${i * j}\\t`;\n }\n console.log(row);\n}\n```\n\n### 代码解释：\n1. **外层循环**：使用 `for` 循环控制行数，变量 `i` 从 1 到 9 变化，代表乘法表的每一行。\n2. **内层循环**：对于每一行，使用另一个 `for` 循环控制列数，变量 `j` 从 1 到当前的行数 `i` 变化。\n3. **拼接每行内容**：在每次内层循环中，将当前的乘法表达式（如 `j × i = i * j`）拼接成字符串 `row`，并使用制表符 `\\t` 进行分隔。\n4. **打印每行内容**：内层循环结束后，将拼接好的 `row` 字符串打印到控制台。\n\n你可以将上述代码复制到浏览器的开发者工具控制台或者 Node.js 环境中运行，即可看到九九乘法表的输出。",
            md2: `泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。\n\n### 带佩亚诺型余项的泰勒公式\n设函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)=o((x - x_0)^n)$，表示当$x\\to x_0$时，$R_n(x)$是比$(x - x_0)^n$高阶的无穷小。\n\n当$x_0 = 0$时，上述公式也称为麦克劳林公式，即$f(x)=f(0)+f'(0)x+\\frac{f''(0)}{2!}x^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$，$R_n(x)=o(x^n)$。\n\n### 带拉格朗日型余项的泰勒公式\n设函数$f(x)$在包含$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有直到$n + 1$阶的导数，则对任意$x\\in(a,b)$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\\frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)=\\frac{f^{(n + 1)}(\\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n + 1}$，这里$\\xi$介于$x$与$x_0$之间。\n\n### 常见函数的麦克劳林公式\n - **指数函数**：$e^x = 1+x+\\frac{x^2}{2!}+\\cdots+\\frac{x^n}{n!}+R_n(x)$，$R_n(x)=\\frac{e^{\\xi}}{(n + 1)!}x^{n+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间。\n - **正弦函数**：$\\sin x=x-\\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}-\\cdots+(-1)^{m - 1}\\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x)$，$R_{2m}(x)=\\frac{\\sin(\\xi+(m + \\frac{1}{2})\\pi)}{(2m+1)!}x^{2m+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间。\n - **余弦函数**：$\\cos x = 1-\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^4}{4!}-\\cdots+(-1)^{m}\\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x)$，$R_{2m+1}(x)=\\frac{\\cos(\\xi+(m + 1)\\pi)}{(2m + 2)!}x^{2m+2}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间。\n - **对数函数**：$\\ln(1 + x)=x-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}-\\cdots+(-1)^{n - 1}\\frac{x^n}{n}+R_n(x)$，$R_n(x)=\\frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\\xi)^{n+1}}x^{n+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间，$x\\in(-1,1]$。\n - **幂函数**：$(1 + x)^{\\alpha}=1+\\alpha x+\\frac{\\alpha(\\alpha - 1)}{2!}x^2+\\cdots+\\frac{\\alpha(\\alpha - 1)\\cdots(\\alpha - n+1)}{n!}x^n+R_n(x)$，$R_n(x)=\\frac{\\alpha(\\alpha - 1)\\cdots(\\alpha - n)}{(n+1)!}(1+\\xi)^{\\alpha - n - 1}x^{n+1}$，$\\xi$介于$0$与$x$之间，$\\alpha\\in R$，$x\\in(-1,1)$。\n\n泰勒公式在数学分析、数值计算、物理学等领域都有广泛的应用，例如可以用于近似计算函数值、求极限、分析函数的性质等。`,
//             md3: `正弦函数 \(\sin x\) 的泰勒展开（麦克劳林级数，即在 \(x=0\) 处展开）为：
// \[
// \boxed{
// \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{2n+1}(x)
// }
// \]

// ### 1. 推导思路
// - 先求 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 处的各阶导数：

// \[
// \begin{aligned}
// f(x)&=\sin x, & f(0)&=0,\\
// f'(x)&=\cos x, & f'(0)&=1,\\
// f''(x)&=-\sin x, & f''(0)&=0,\\
// f'''(x)&=-\cos x, & f'''(0)&=-1,\\
// f^{(4)}(x)&=\sin x, & f^{(4)}(0)&=0,\\
// &\ldots
// \end{aligned}
// \]

// 规律：  
// \[
// f^{(k)}(0)=
// \begin{cases}
// 0,& k\text{ 为偶数},\\[4pt]
// (-1)^{m},& k=2m+1.
// \end{cases}
// \]

// - 代入麦克劳林公式：

// \[
// \sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
// =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}.
// \]

// ### 2. 收敛性
// - 收敛半径：\(\infty\)（在整个实数域上都收敛）。
// - 误差项（拉格朗日余项）：

// \[
// R_{2n+1}(x)=(-1)^{n+1}\frac{\cos\xi}{(2n+3)!}x^{2n+3},\quad \xi\text{ 介于 }0\text{ 与 }x\text{ 之间}.
// \]

// ### 3. 低阶近似举例
// | 阶数 | 泰勒多项式 |
// |------|-------------|
// | 1    | \(x\) |
// | 3    | \(x-\dfrac{x^3}{6}\) |
// | 5    | \(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}\) |
// | 7    | \(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}-\dfrac{x^7}{5040}\) |

// ### 4. 图示
// 随着阶数升高，泰勒多项式在整个实数轴上越来越贴近 \(\sin x\)：

// （示意图：蓝色 \(\sin x\)，红色为 1、3、5、7 阶泰勒多项式）

// ### 5. 常用误差估计
// 对任意实数 \(x\)，有

// \[
// \bigl|\sin x - T_{2n+1}(x)\bigr|\le \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}.
// \]

// 例如，当 \(|x|\le 1\) 时，用 5 阶多项式逼近，误差不超过

// \[
// \frac{1}{7!}\approx 2\times 10^{-4}.
// \]`,
        }
    },
    computed: {
        html() { return md.render(this.source2) }
    }
}
</script>

</script>